Xác suất – Thống kê: bắt đầu từ những câu hỏi đơn giản

Xác suất giúp mô tả sự không chắc chắn, còn thống kê dùng dữ liệu thu được để mô tả và suy luận. Khi học một phân phối xác suất, nên trả lời ba câu hỏi: biến ngẫu nhiên đại diện cho đại lượng nào, các giá trị có thể nhận là gì và cách tính xác suất của từng giá trị ra sao.

1. Phép thử, biến ngẫu nhiên và phân phối

Trong một phép thử tung đồng xu cân đối, đặt \(X=1\) nếu xuất hiện mặt ngửa và \(X=0\) nếu xuất hiện mặt sấp. Khi đó \(P(X=1)=P(X=0)=1/2\). Đây là ví dụ về biến ngẫu nhiên rời rạc: nó chỉ nhận các giá trị trong một tập đếm được.

Một biến ngẫu nhiên liên tục, chẳng hạn thời gian chờ được đo theo giây, được mô tả bởi hàm mật độ trong những mô hình thích hợp. Không thể dùng trực tiếp công thức xác suất tại một điểm như với biến rời rạc; xác suất trên khoảng được xác định bằng tích phân của hàm mật độ.

2. Kỳ vọng và phương sai

Kỳ vọng \(E(X)\) mô tả giá trị trung bình theo phân phối; phương sai \(\operatorname{Var}(X)=E[(X-E(X))^2]\) đo mức độ phân tán quanh kỳ vọng. Với đồng xu cân đối và biến \(X\) ở trên, ta có \(E(X)=1/2\) và \(\operatorname{Var}(X)=1/4\).

3. Ví dụ giải từng bước: phân phối nhị thức

Bài toán. Một câu hỏi có xác suất trả lời đúng là \(0{,}6\). Một người thực hiện ba câu hỏi độc lập, mỗi câu có cùng xác suất trả lời đúng. Tính xác suất trả lời đúng đúng hai câu.

1. Đặt \(X\) là số câu trả lời đúng. Vì có ba phép thử độc lập với cùng xác suất thành công \(p=0{,}6\), ta dùng phân phối nhị thức \(X\sim B(3;0{,}6)\).
2. Có \(\binom32=3\) cách chọn hai câu trả lời đúng trong ba câu.
3. Với mỗi cách chọn, xác suất bằng \((0{,}6)^2(0{,}4)\). Do đó \(P(X=2)=\binom32(0{,}6)^2(0{,}4)=0{,}432\).

Kiểm tra. Kết quả nằm trong khoảng từ 0 đến 1. Theo công thức nhị thức, kỳ vọng số câu đúng là \(E(X)=np=1{,}8\), còn phương sai là \(np(1-p)=0{,}72\). Không nhầm kỳ vọng \(1{,}8\) với một số câu đúng bắt buộc phải đạt được trong mỗi lần thử.

4. Tự luyện

Giữ nguyên mô hình trên. Hãy tính xác suất trả lời đúng cả ba câu và xác suất trả lời đúng ít nhất một câu.

5. Những lỗi thường gặp

Không dùng công thức nhị thức nếu các phép thử không độc lập hoặc xác suất thành công thay đổi giữa các lần thử. Khi đọc bài toán, luôn phân biệt “đúng hai” với “ít nhất hai” và “không quá hai”. Bước viết rõ biến ngẫu nhiên trước khi tính sẽ giúp tránh những lỗi này.

Bạn có thể tiếp tục ôn kiến thức khác tại danh mục học liệu hoặc trang luyện tập.