Bài viết và hướng dẫn giải toán
Các bài viết tập trung vào cách chọn phương pháp, giải thích bước suy luận và các lỗi thường gặp khi làm bài. Với bài toán có lời giải, bạn nên thử giải độc lập trước khi mở phần hướng dẫn để kiểm tra mức độ hiểu.
Bài hướng dẫn theo chủ đề
- Kiểm tra hội tụ tích phân suy rộng: khi nào dùng \(1/x^p\)? – Tích phân có cận vô hạn, điểm kỳ dị và bài toán tham số.
- Cách chọn tọa độ cực cho tích phân kép – Nhận diện hình tròn và đặt cận sau khi đổi tọa độ.
Bài viết trong kho lưu trữ
Những bài dưới đây được lưu từ các giai đoạn trước. Một số trình bày theo định dạng cũ và đang được rà soát, nên hãy đối chiếu với các bài học cập nhật khi tự luyện.
Kiểm tra hội tụ tích phân suy rộng bằng cách so sánh với 1/x^p
Khi gặp một tích phân suy rộng, nhiều người học thường bắt đầu tìm nguyên hàm. Tuy nhiên, nếu đề chỉ hỏi hội tụ hay phân kỳ, cách hiệu quả hơn thường là nhận dạng điểm suy rộng rồi so sánh với một tích phân mẫu. Bài viết...
Tích phân kép: Nhận diện miền tròn và chọn tọa độ cực
Trong bài tích phân kép, lỗi thường xuất hiện trước khi tính tích phân: đọc sai miền (D), đặt cận không khớp với miền hoặc quên hệ số Jacobian. Bài viết này minh họa cách xử lý một miền tròn không có tâm tại gốc tọa độ. 1....
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TÁCH BIẾN
DẠNG Phương trình vi phân tách biến (hay còn có thể goi là biến phân li) là phương trình vi phân có dạng $$M(x)dx+N(y)dy=0 \quad (1)$$ hay $$M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy=0 \quad (2)$$ hay $$y'=f(x)g(y) \quad (3)$$
Phương trình vi phân toàn phần
Đầu tiên, sẽ trình bày tóm gọn nhất về dạng và cách giải và sau đó là đưa ra ví dụ, để khi cần thì chỉ cần mở ra nhớ và làm, cái này giống như là delta của phương trình bậc hai, nhớ và làm thôi, còn...
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
Dạng phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất $$y'+p(x)y=q(x)(*)$$ Trường hợp \(q(x)=0\), ta có thể đưa phương trình trở về dạng phương trình vi phân tách biến và giải quyết nó.
IMO 2023 Problem 5
Let \(n\) be a positive integer. A Japanese triangle consists of \(1 + 2 + \dots + n\) circles arranged in an equilateral triangular shape such that for each \(i = 1\) , \(2\) , \(\dots\) , \(n\) , the \(i^{th}\) row contains exactly \(i\) circles, exactly one...
IMO 2023 Problem 4
Problem 4: Let \(x_1,x_2,\dots,x_{2023}\) be pairwise different positive real numbers such that \[a_n=\sqrt{(x_1+x_2+\dots+x_n)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots+\frac{1}{x_n}\right)}\] is an integer for every \(n=1,2,\dots,2023.\) Prove that \(a_{2023} \geqslant 3034.\) Hint: Motivation. It is obvious to see that \(3034=2022\times\frac 32+1,\) which leads us to the lemma below \(.\)
IMO 2023 Problem 3
Problem 3: For each integer \(k \geqslant 2\), determine all infinite sequences of positive integers \(a_1, a_2, \ldots\) for which there exists a polynomial \(P\) of the form \(P(x)=x^k+c_{k-1} x^{k-1}+\cdots+c_1 x+c_0\), where \(c_0, c_1, \ldots, c_{k-1}\) are non-negative integers, such that \[P\left(a_n\right)=a_{n+1} a_{n+2} \cdots a_{n+k}\] for every integer...
IMO 2023 P1
Question: Determine all composite integers \(n>1\) that satisfy the following property: if $$d_1, d_2, \ldots, d_k$$ are all the positive divisors of \(n\) with \(1= d_1 Read full article here .