Khi gặp một tích phân suy rộng, nhiều người học thường bắt đầu tìm nguyên hàm. Tuy nhiên, nếu đề chỉ hỏi hội tụ hay phân kỳ, cách hiệu quả hơn thường là nhận dạng điểm suy rộng rồi so sánh với một tích phân mẫu.

Bài viết này tóm tắt một quy trình có thể áp dụng trực tiếp cho nhiều bài Toán cơ sở.

1. Xác định tích phân suy rộng ở đâu

Có hai tình huống phổ biến:

  • Cận vô hạn: chẳng hạn (\int_1^{+\infty}f(x)\,dx).
  • Hàm không bị chặn gần một điểm: chẳng hạn (\int_0^1f(x)\,dx) khi (f(x)\to+\infty) lúc (x\to0^+).

Nếu trong khoảng có một điểm kỳ dị nằm ở giữa, phải tách tích phân tại điểm đó. Một tích phân có hai đầu suy rộng chỉ hội tụ khi từng phần suy rộng đều hội tụ.

2. Hai mốc chuẩn cần phân biệt

Với (p\in\mathbb R), ta có:

  • (\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}) hội tụ khi và chỉ khi (p>1).
  • (\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{x^p}) hội tụ khi và chỉ khi (p<1).

Hai điều kiện khác nhau vì ta đang xét hai hành vi khác nhau của hàm số: khi (x) tiến ra vô hạn và khi (x) tiến về 0.

Mẹo nhớ: Ở vô hạn, phải giảm nhanh hơn (1/x) để hội tụ. Ở gần 0, độ kỳ dị phải nhẹ hơn (1/x).

3. Ví dụ 1: Tìm điều kiện tham số ở vô hạn

Xét

[I(\alpha)=\int_1^{+\infty}\frac{2+\sin x}{x^\alpha}\,dx.]

Do (1\le 2+\sin x\le3) với mọi (x), nên

[\frac1{x^\alpha}\le\frac{2+\sin x}{x^\alpha}\le\frac3{x^\alpha},\qquad x\ge1.]

Theo tiêu chuẩn so sánh cho các hàm không âm, (I(\alpha)) hội tụ khi và chỉ khi (\int_1^{+\infty}x^{-\alpha}\,dx) hội tụ. Vì vậy

[\boxed{I(\alpha)\text{ hội tụ khi và chỉ khi }\alpha>1.}]

Không cần tính nguyên hàm của biểu thức có (\sin x).

4. Ví dụ 2: Tìm điều kiện tham số gần 0

Xét

[J(\alpha)=\int_0^1\frac{1+x}{x^\alpha}\,dx.]

Với (0<x\le1), ta có (1\le1+x\le2), suy ra

[\frac1{x^\alpha}\le\frac{1+x}{x^\alpha}\le\frac2{x^\alpha}.]

Do điểm suy rộng là (x=0), điều kiện đúng là (\alpha<1), không phải (\alpha>1).

5. Khi nào cần đổi biến trước khi so sánh?

Xét (\displaystyle K(\alpha)=\int_e^{+\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^\alpha}). Đặt (t=\ln x), khi đó (dt=dx/x) và

[K(\alpha)=\int_1^{+\infty}t^{-\alpha}\,dt.]

Ta được (K(\alpha)) hội tụ khi và chỉ khi (\alpha>1). Trường hợp này cho thấy biến đổi tích phân về mẫu (1/t^p) có thể tiết kiệm nhiều phép tính.

6. Quy trình tự kiểm tra

  1. Đánh dấu điểm gây suy rộng: (0), (+\infty), (-\infty) hay một điểm trong khoảng.
  2. Xác định hàm dưới dấu tích phân có không âm gần điểm đó hay không, để quyết định có dùng trực tiếp tiêu chuẩn so sánh.
  3. Rút ra biểu thức chi phối, thường có dạng (C/x^p) với (C>0), hoặc đổi biến để có dạng này.
  4. Dùng đúng tiêu chuẩn hội tụ theo vị trí điểm suy rộng.
  5. Nếu có nhiều điểm suy rộng, kiểm tra từng điểm riêng biệt.

Bài tự luyện: Xét điều kiện hội tụ của (\displaystyle\int_0^1\frac{1+x^2}{x^{2\alpha}}\,dx).

Đáp ánVì \(1\le1+x^2\le2\), tích phân có cùng tính hội tụ với \(\int_0^1x^{-2\alpha}\,dx\). Điều kiện là \(2\alpha<1\), tức \(\alpha<1/2\).

Đọc tiếp Chương 1 – Tích phân một biến để luyện nhiều dạng bài hơn.