Bước 1. Tìm điểm gây suy rộng: vô cực, \(0\) hay \(x=a\). Bước 2. Rút gọn biểu thức gần điểm đó (chỉ giữ các hạng chi phối). Bước 3. Viết về \(C/x^p\) hoặc \(C/t^p\), \(C>0\), với \(t=|x-a|\) nếu xét gần \(a\). Bước 4. So sánh \(p\) với \(1\).
Ở \(x\to+\infty\)
\(\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}\)
Hội tụ khi \(p>1\)
Gần \(x\to0^+\)
\(\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{x^p}\)
Hội tụ khi \(p<1\)
Gần \(x=a\): đặt \(t=|x-a|\), quy về xét gần \(t=0\), nên vẫn dùng \(p<1\). Nếu có nhiều điểm bất thường, xét từng điểm rồi lấy giao các điều kiện.
Chú ý: Đây là phương pháp so sánh dành cho hàm không âm hoặc tương đương một hàm dương gần điểm xét. Với tích phân đổi dấu/dao động cần xét thêm. Phương pháp trên quyết định hội tụ hay phân kỳ, còn để tính giá trị tích phân phải tìm nguyên hàm hoặc đổi biến và lấy giới hạn.
DẠNG 13 / 18
Suy rộng loại 1: cận vô hạn
Nhận biết: Một cận là \(+\infty\) hoặc \(-\infty\); không được thay vô cực như một số bình thường.
Mẹo: Nếu \(f(x)\sim C/x^p\) tại vô cực, \(C>0\), kết luận hội tụ khi \(p>1\). Sau đó, nếu đề yêu cầu tính giá trị, nhớ lấy giới hạn.
Ví dụ mẫu
Tính \(\displaystyle\int_1^\infty\frac{dx}{x^3}\).
Lời giải theo bước
Hàm dưới dấu tích phân đã ở dạng \(\frac1{x^p}\) với \(p=3>1\), nên tích phân hội tụ.
Để tính giá trị: \(I=\lim_{b\to+\infty}\int_1^b x^{-3}\,dx=\lim_{b\to+\infty}\left(\frac12-\frac1{2b^2}\right)\).
Kết quả \(\boxed{I=\frac12}\).
✎ Tự luyện ngay (3 câu)
Tính \(\int_1^\infty x^{-2}\,dx\).
Xét \(\int_1^\infty dx/x\).
Tính \(\int_0^\infty e^{-2x}\,dx\).
Hiện đáp án và hướng dẫn
Giới hạn của \([-1/x]_1^b\) là \(\boxed{1}\).
Phân kỳ vì \(\lim_{b\to\infty}\ln b=+\infty\). Đây là trường hợp biên \(p=1\).
Nguyên hàm \(-e^{-2x}/2\); thay cận theo giới hạn được \(\boxed{1/2}\).
DẠNG 14 / 18
Suy rộng loại 2: điểm kỳ dị hữu hạn
Nhận biết: Mẫu số bằng 0, xuất hiện \(1/\sqrt{x}\), \(1/(a-x)^p\), hoặc điểm kỳ dị trong khoảng.
Mẹo: Nếu bất thường tại \(x=a\), đặt \(t=|x-a|\) để đưa về \(1/t^p\) gần \(0\). Hội tụ khi \(p<1\).
Ví dụ mẫu
Tính \(\displaystyle\int_0^2\frac{dx}{\sqrt{2-x}}\).
Lời giải theo bước
Điểm bất thường là \(x=2\). Đặt \(t=2-x\), khi \(x\to2^-\) thì \(t\to0^+\), dạng chuẩn là \(1/t^{1/2}\).
Vì \(p=\frac12<1\) nên hội tụ. Đổi biến, \(I=\int_0^2t^{-1/2}dt\).
Tính giới hạn ở \(t=0\): \(I=[2\sqrt t]_0^2=\boxed{2\sqrt2}\).
✎ Tự luyện ngay (3 câu)
Tính \(\int_0^1 x^{-2/3}\,dx\).
Xét \(\int_0^1 dx/x\).
Tính \(\int_{-1}^1|x|^{-1/2}dx\).
Hiện đáp án và hướng dẫn
Nguyên hàm \(3x^{1/3}\); tại 0 có giới hạn 0. Đáp án \(\boxed{3}\).
Phân kỳ tại \(x=0\), vì \(\lim_{a\to0^+}(-\ln a)=+\infty\).
Tách tại 0, mỗi phía bằng \(2\), tổng \(\boxed{4}\).
DẠNG 15 / 18
Tính tích phân suy rộng bằng đổi biến và nhận dạng logarit
Nhận biết: Tích phân có \(xe^{-x^2}\), mẫu \(x\ln x\) hoặc \(x(1+\sqrt{x})\).
Mẹo: Để tính giá trị, tìm nguyên hàm/đổi biến và đổi cận. Với dạng \(\frac1{x(\ln x)^p}\), đặt \(u=\ln x\) (hoặc \(u=-\ln x\)) để thu được \(1/u^p\) và xét hội tụ.
Ví dụ mẫu
Tính \(\displaystyle\int_0^\infty xe^{-x^2}\,dx\).
Lời giải theo bước
Đặt \(u=x^2\), \(du=2x\,dx\). Cận \(0\to0\) và \(+\infty\to+\infty\).
Khi đó \(I=\frac12\int_0^{+\infty}e^{-u}\,du=\frac12\lim_{B\to+\infty}[-e^{-u}]_0^B\).
Suy ra \(\boxed{I=\frac12}\). Đây là bài tính giá trị nhờ nguyên hàm, không cần ép hàm mũ thành \(1/u^p\).
✎ Tự luyện ngay (5 câu)
Xét \(\int_1^\infty\frac{2x}{1+x^2}\,dx\).
Tính \(\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})}\).
Tính \(\int_2^\infty\frac{dx}{x(\ln x)^2}\).
Tính \(\int_1^e\frac{dx}{x\sqrt{\ln x}}\).
Xét \(\int_1^e\frac{dx}{x\ln x}\).
Hiện đáp án và hướng dẫn
Nguyên hàm \(\ln(1+x^2)\to+\infty\); tích phân phân kỳ.
Đặt \(t=\sqrt{x}\), \(dx=2t\,dt\). Tích phân thành \(2\int_0^1dt/(1+t)=\boxed{2\ln2}\).
Đặt \(u=\ln x\), cận \(\ln2\) đến vô cực; \(\int_{\ln2}^\infty u^{-2}du=\boxed{1/\ln2}\).
Đặt \(u=\ln x\), đổi cận \(1\mapsto0\), \(e\mapsto1\); được \(\int_0^1u^{-1/2}du=\boxed{2}\) (lấy giới hạn ở 0).
Đặt \(u=\ln x\), được \(\int_0^1du/u\), phân kỳ vì điểm \(u=0\).
DẠNG 16 / 18
Tìm α để hội tụ tại vô cực
Nhận biết: Cận \(+\infty\), tử và mẫu mang lũy thừa của \(x\) và tham số \(\alpha\).
Mẹo: Ở vô cực: giữ các hạng chi phối, viết \(\frac{x^m}{x^\alpha}=\frac1{x^{\alpha-m}}\). Đặt \(p=\alpha-m\) rồi giải bất phương trình \(p>1\).
Ví dụ mẫu
Tìm \(\alpha>0\) để \(\displaystyle\int_1^\infty\frac{x^2+1}{x^\alpha+1}\,dx\) hội tụ.
Lời giải theo bước
Với \(\alpha>0\), khi \(x\to+\infty\), tử \(\sim x^2\), mẫu \(\sim x^\alpha\).
Suy ra \(\frac{x^2+1}{x^\alpha+1}\sim\frac{x^2}{x^\alpha}=\frac1{x^{\alpha-2}}\). Vậy số mũ chuẩn \(p=\alpha-2\).
Hội tụ khi \(p>1\iff\alpha-2>1\iff\boxed{\alpha>3}\). Tại \(\alpha=3\), dạng \(1/x\) phân kỳ.
✎ Tự luyện ngay (3 câu)
Tìm \(\alpha>0\) để \(\int_1^\infty\frac{x+2}{x^\alpha+1}dx\) hội tụ.
Tìm \(\alpha>0\) để \(\int_1^\infty\frac{x^3+1}{x^\alpha+1}dx\) hội tụ.
Xét \(\int_1^\infty\frac{x^2+1}{x^3+1}dx\).
Hiện đáp án và hướng dẫn
Tại vô cực tương đương \(x^{1-\alpha}\); cần \(1-\alpha<-1\), tức \(\boxed{\alpha>2}\).
Tương đương \(1/x\); tích phân \(\boxed{\text{phân kỳ}}\).
DẠNG 17 / 18
Tìm α gần điểm kỳ dị (0), (a) hoặc trong khoảng
Nhận biết: Một cận hữu hạn làm mẫu số bằng 0; \(\alpha\) là số mũ của \(x\), \(a-x\) hoặc \(|x-a|\).
Mẹo: Gần \(0\) hoặc \(x=a\): đưa về \(1/t^p\) với \(t\to0^+\), rồi giải \(p<1\). Nhớ điều kiện ở đây ngược với vô cực.
Ví dụ mẫu
Tìm \(\alpha\in\mathbb R\) để \(\displaystyle\int_0^1\frac{x^2}{x^\alpha(1+x)}\,dx\) hội tụ.
Lời giải theo bước
Điểm bất thường chỉ có thể là \(x=0\). Khi \(x\to0^+\), \(1+x\to1\).
Vì vậy \(\frac{x^2}{x^\alpha(1+x)}\sim x^{2-\alpha}=\frac1{x^{\alpha-2}}\). Đặt \(p=\alpha-2\).
Hội tụ khi \(p<1\iff\alpha-2<1\iff\boxed{\alpha<3}\). Tại \(\alpha=3\), dạng \(1/x\) phân kỳ.
✎ Tự luyện ngay (3 câu)
Tìm \(\alpha\) để \(\int_0^1\frac{dx}{x^\alpha(1+x)}\) hội tụ.
Tìm \(\alpha\) để \(\int_1^3\frac{dx}{x(3-x)^\alpha}\) hội tụ.
Tìm \(\alpha\) để \(\int_0^2|x-1|^{-\alpha}dx\) hội tụ.
Hiện đáp án và hướng dẫn
Gần 0 tương đương \(x^{-\alpha}\); cần \(-\alpha>-1\), tức \(\boxed{\alpha<1}\).
Chỉ điểm \(x=3\) có thể kỳ dị; gần đó tương đương \(\frac13(3-x)^{-\alpha}\). Cần \(\boxed{\alpha<1}\).
Tách tại \(x=1\). Mỗi phía tương tự \(\int_0^1 t^{-\alpha}dt\); cần \(\boxed{\alpha<1}\).
DẠNG 18 / 18
Nhiều điểm bất thường và trường hợp logarit
Nhận biết: Tích phân từ \(0\) đến \(+\infty\), hoặc mẫu có cả \(x^\alpha\), \((1-x)^\beta\), \(\ln x\).
Mẹo: Với cận \(0\) đến \(+\infty\), thường có hai điều kiện: tại \(0\) dùng \(p<1\), tại vô cực dùng \(p>1\). Cuối cùng lấy giao.
Ví dụ mẫu
Tìm \(\alpha\in\mathbb R\) để \(\displaystyle\int_0^\infty\frac{x^\alpha}{(1+x)^4}\,dx\) hội tụ.
Lời giải theo bước
Gần \(0\): \(\frac{x^\alpha}{(1+x)^4}\sim\frac1{x^{-\alpha}}\), nên \(p_0=-\alpha<1\iff\alpha>-1\).
Tại \(+\infty\): \(\frac{x^\alpha}{(1+x)^4}\sim\frac1{x^{4-\alpha}}\), nên \(p_\infty=4-\alpha>1\iff\alpha<3\).
Lấy giao hai điều kiện: \(\boxed{-1<\alpha<3}\). Tại các giá trị biên, một đầu có dạng \(1/x\) và phân kỳ.
✎ Tự luyện ngay (4 câu)
Tìm \(\alpha\) để \(\int_0^\infty\frac{x^\alpha}{(1+x)^5}dx\) hội tụ.
Tìm \(\alpha,\beta\) để \(\int_0^1\frac{dx}{x^\alpha(1-x)^\beta}\) hội tụ.
Tìm \(\beta\) để \(\int_e^\infty\frac{dx}{x(\ln x)^\beta}\) hội tụ.
Tìm \(\beta\) để \(\int_0^{1/2}\frac{dx}{x|\ln x|^\beta}\) hội tụ.
Hiện đáp án và hướng dẫn
Gần 0 cần \(\alpha>-1\); tại vô cực cần \(\alpha-5<-1\). Suy ra \(\boxed{-1<\alpha<4}\).
Gần 0 cần \(\alpha<1\); gần 1 cần \(\beta<1\). Cần đồng thời \(\boxed{\alpha<1,\ \beta<1}\).
Đặt \(u=\ln x\), được \(\int_1^\infty u^{-\beta}du\). Hội tụ khi \(\boxed{\beta>1}\).
Đặt \(u=-\ln x\), đổi cận từ \(+\infty\) về \(\ln2\); trở thành \(\int_{\ln2}^\infty u^{-\beta}du\), nên \(\boxed{\beta>1}\).
5 lỗi dễ mất điểm
Quên \(+C\) khi tìm nguyên hàm.
Đặt biến mới trong tích phân xác định nhưng giữ cận cũ.
Thay trực tiếp \(\infty\) hoặc điểm làm mẫu bằng 0 mà không viết giới hạn.
Nhầm quy tắc \(1/x^p\): ở vô cực \(p>1\), nhưng gần điểm kỳ dị \(p<1\).
Tích phân có nhiều điểm bất thường mà chỉ xét một điểm; phải lấy giao các điều kiện hội tụ.
Rút ngẫu nhiên 5 câu từ ngân hàng
Ôn tập ngay sau khi học Chương 1. Câu hỏi được lấy trực tiếp từ ngân hàng Toán cơ sở – Chương 1 trên Supabase, chỉ gồm các câu luyện tập đang hoạt động và đã được duyệt. Không cần đăng nhập, không ghi điểm vào học phần.
Đang chuẩn bị bộ câu hỏi…
Mỗi lượt rút gồm 5 câu không trùng nhau. Đáp án và lời giải chỉ xuất hiện sau khi nộp bài; có thể rút lại để luyện thêm.
