Trong bài tích phân kép, lỗi thường xuất hiện trước khi tính tích phân: đọc sai miền (D), đặt cận không khớp với miền hoặc quên hệ số Jacobian. Bài viết này minh họa cách xử lý một miền tròn không có tâm tại gốc tọa độ.

1. Nhìn hình học trước khi đổi tọa độ

Cho (a>0) và miền

[D={(x,y)\in\mathbb R^2: x^2+y^2\le2ax}.]

Hoàn thành bình phương theo (x):

[(x-a)^2+y^2\le a^2.]

Vậy (D) là hình tròn đóng có tâm (A(a,0)) và bán kính (a). Hình tròn tiếp xúc với trục (Oy) tại gốc tọa độ và nằm về phía (x\ge0).

Nhận diện hình học giúp ta biết trước diện tích phải bằng (\pi a^2). Đây cũng là kết quả để kiểm tra phép đổi tọa độ.

2. Đổi sang tọa độ cực

Đặt (x=r\cos\theta), (y=r\sin\theta), với (r\ge0). Phương trình miền trở thành

[r^2\le2ar\cos\theta.]

Với (r>0), chia hai vế cho (r) được (r\le2a\cos\theta). Để cận trên không âm, cần (\cos\theta\ge0). Ta chọn góc trong khoảng (-\pi/2\le\theta\le\pi/2).

Do đó có thể mô tả miền bằng

[-\frac\pi2\le\theta\le\frac\pi2,\qquad 0\le r\le2a\cos\theta.]

Điểm (r=0) được lấy cho mọi góc trong khoảng, nhưng chỉ biểu diễn cùng một điểm gốc tọa độ nên không làm thay đổi giá trị tích phân.

3. Tính diện tích bằng tích phân kép

Diện tích miền (D) bằng (\iint_D1\,dx\,dy). Trong tọa độ cực, (dx\,dy=r\,dr\,d\theta), vì vậy

[\begin{aligned} S&=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{2a\cos\theta}r\,dr\,d\theta
&=2a^2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta
&=\pi a^2. \end{aligned}]

Kết quả trùng với công thức diện tích hình tròn. Nếu kết quả khác, hãy kiểm tra lại cận góc hoặc xem đã nhân Jacobian (r) hay chưa.

4. Ba lỗi thường gặp

  • Cho góc từ (0) đến (2\pi) trong khi cận (r\le2a\cos\theta) âm ở nửa mặt phẳng trái; khi đó mô tả miền không còn đúng.
  • Quên hệ số (r) trong (dx\,dy), làm sai giá trị tích phân và cả thứ nguyên của diện tích.
  • Nhầm miền tròn với đường tròn: dấu (\le) mô tả toàn bộ miền phẳng, còn dấu (=) chỉ mô tả đường biên.

5. Bài tự luyện

Với (a>0), cho (E) xác định bởi (x^2+y^2\le2ay). Hãy tìm tâm, bán kính của miền và viết cận khi đổi sang tọa độ cực.

Gợi ý và đáp án

Hoàn thành bình phương: \(x^2+(y-a)^2\le a^2\). Miền có tâm \((0,a)\), bán kính \(a\). Trong tọa độ cực: \(0\le\theta\le\pi\), \(0\le r\le2a\sin\theta\). Diện tích vẫn bằng \(\pi a^2\).

Thực hành thêm các miền tròn, vành khăn và đổi thứ tự tích phân trong Chương 3 – Tích phân kép.