Chương 3. Tích phân kép

Xác định miền \(D\) và tính \(\int_0^2\int_0^x 1\,dy\,dx\).

1. Bất đẳng thức miền là \(0\le x\le2,\ 0\le y\le x\).
2. Miền tam giác có các đỉnh \((0,0),(2,0),(2,2)\).
3. Diện tích \(S=\int_0^2x\,dx=\boxed{2}\).

Nhận dạng \(D=\{x^2+y^2\le4x\}\).

1. Chuyển \(x^2-4x+y^2\le0\).
2. Hoàn thành bình phương \((x-2)^2+y^2\le4\).
3. \(D\) là hình tròn tâm \(\boxed{(2,0)}\), bán kính \(\boxed{2}\).

Diện tích miền \(x^2/9+y^2/4\le1,\ y\ge0\)?

1. Elip có hai bán trục \(3\) và \(2\).
2. Chỉ lấy phần \(y\ge0\), là nửa elip trên trục Ox.
3. Diện tích \(S=\frac12\pi\cdot3\cdot2=\boxed{3\pi}\).

Tìm cận cực \(D=\{x^2+y^2\le2y,\ x\ge0,\ y\ge x\}\).

1. Đường tròn là \(x^2+(y-1)^2=1\).
2. Các điều kiện cho \(\pi/4\le\theta\le\pi/2\).
3. \(r^2\le2r\sin\theta\), nên \(0\le r\le2\sin\theta\).

Tính \(I=\iint_{[0,2]\times[0,1]}(x+2y)\,dx\,dy\).

1. Viết \(I=\int_0^2\int_0^1(x+2y)\,dy\,dx\).
2. Tính theo \(y\): \([xy+y^2]_0^1=x+1\).
3. \(I=\int_0^2(x+1)\,dx=\boxed{4}\).

Tính \(I=\iint_D y\,dx\,dy\), với \(D\) giữa \(y=x^2\), \(y=2x\).

1. Giao điểm \(x^2=2x\) cho \(x=0,2\).
2. \(I=\int_0^2\int_{x^2}^{2x}y\,dy\,dx=\frac12\int_0^2(4x^2-x^4)\,dx\).
3. \(I=[2x^3/3-x^5/10]_0^2=\boxed{32/15}\).

Tính \(\iint_Dx\,dx\,dy\), \(D=\{0\le y\le1,\ y^2\le x\le y\}\).

1. Cận \(y:0\to1,\ x:y^2\to y\).
2. \(I=\frac12\int_0^1(y^2-y^4)\,dy\).
3. \(I=\frac12(\frac13-\frac15)=\boxed{1/15}\).

Tính diện tích \(D=\{0\le x\le2,\ 0\le y\le\min(1,2-x)\}\).

1. Hai đường \(y=1\), \(y=2-x\) giao nhau khi \(x=1\).
2. Trên \(x\in[0,1]\): \(0\le y\le1\). Trên \([1,2]\): \(0\le y\le2-x\).
3. \(S=\int_0^11\,dx+\int_1^2(2-x)\,dx=\boxed{3/2}\).

Đổi thứ tự \(I=\int_0^2\int_0^xf(x,y)\,dy\,dx\).

1. Viết \(D=\{0\le x\le2,\ 0\le y\le x\}\).
2. Đổi sang quét ngang: \(0\le y\le2,\ y\le x\le2\).
3. \(I=\boxed{\int_0^2\int_y^2f(x,y)\,dx\,dy}\).

Đổi thứ tự \(\int_{-1}^1\int_{x^2}^1f(x,y)\,dy\,dx\).

1. Miền nằm trên parabol \(y=x^2\) và dưới \(y=1\).
2. Chiếu lên Oy: \(0\le y\le1\), và \(-\sqrt y\le x\le\sqrt y\).
3. Kết quả \(\boxed{\int_0^1\int_{-\sqrt y}^{\sqrt y}f(x,y)\,dx\,dy}\).

Đổi thứ tự \(\int_0^2\int_0^{\sqrt{2x-x^2}}f(x,y)\,dy\,dx\).

1. Miền là nửa đĩa \((x-1)^2+y^2\le1,\ y\ge0\).
2. Đổi quét ngang: \(0\le y\le1,\ 1-\sqrt{1-y^2}\le x\le1+\sqrt{1-y^2}\).
3. \(\boxed{\int_0^1\int_{1-\sqrt{1-y^2}}^{1+\sqrt{1-y^2}}f(x,y)\,dx\,dy}\).

Tính \(\iint_D(x^2+y^2)\,dx\,dy\), \(D=\{x^2+y^2\le4,\ x,y\ge0\}\).

1. Đĩa góc phần tư I cho \(0\le r\le2,\ 0\le\theta\le\pi/2\).
2. \(I=\int_0^{\pi/2}\int_0^2r^3\,dr\,d\theta\).
3. \(\int_0^2r^3dr=4\), nên \(\boxed{I=2\pi}\).

Tính diện tích \(D=\{x^2+y^2\le4x\}\) bằng tọa độ cực.

1. Đặt \(r\le4\cos\theta\), \(-\pi/2\le\theta\le\pi/2\).
2. \(S=\frac12\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(4\cos\theta)^2d\theta=8\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2\theta d\theta\).
3. \(\boxed{S=4\pi}\), khớp bán kính 2.

Tính diện tích \(D=\{x^2+y^2\le2y,\ x\ge0,\ y\ge x\}\).

1. Cận \(\pi/4\le\theta\le\pi/2,\ 0\le r\le2\sin\theta\).
2. \(S=2\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin^2\theta\,d\theta\).
3. \(S=[\theta-\sin2\theta/2]_{\pi/4}^{\pi/2}=\boxed{\pi/4+1/2}\).

Tính diện tích \(D=\{x^2/9+y^2/4\le1\}\).

1. Đặt \(x=3r\cos\theta,y=2r\sin\theta\), \(r:0\to1,\theta:0\to2\pi\).
2. Jacobi \(J=6r\): \(S=\int_0^{2\pi}\int_0^1 6rdr\,d\theta\).
3. \(S=\boxed{6\pi}\).

Tính diện tích miền giới hạn bởi \(y=x^2\) và \(y=2x\).

1. Hai đường giao tại \(x=0\) và \(x=2\).
2. Cận theo y: \(x^2\le y\le2x\), \(x\in[0,2]\).
3. \(S=\int_0^2(2x-x^2)dx=\boxed{4/3}\).

Tính thể tích dưới \(z=4-x^2-y^2\), trên \(z=0\).

1. Chiếu xuống Oxy được đĩa \(r\le2\).
2. \(V=\int_0^{2\pi}\int_0^2(4-r^2)r\,dr\,d\theta\).
3. \([2r^2-r^4/4]_0^2=4\), nên \(\boxed{V=8\pi}\).

Tấm phẳng \(D=[0,2]\times[0,1]\) có mật độ \(\rho=1+x\). Tính khối lượng.

1. Mật độ không âm trên miền đã cho.
2. \(m=\int_0^2\int_0^1(1+x)\,dy\,dx=\int_0^2(1+x)\,dx\).
3. \(m=[x+x^2/2]_0^2=\boxed{4}\).