Chương 2. Phép tính vi phân hàm số hai biến

Tìm miền xác định của \(f(x,y)=\ln(x^2-y)+\sqrt{4-x^2-y^2}\).

1. Điều kiện của \(\ln(x^2-y)\): \(x^2-y>0\), hay \(y
2. Điều kiện của căn: \(4-x^2-y^2\ge0\), hay \(x^2+y^2\le4\).
3. Miền xác định là \(\boxed{D=\{(x,y):y

Tính \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^2+y^2}\).

1. Vì \(0\le \frac{x^2}{x^2+y^2}\le1\) khi \((x,y)\ne(0,0)\), ta có \(\left|\frac{x^2y}{x^2+y^2}\right|\le|y|\).
2. Khi \((x,y)\to(0,0)\), \( |y|\to0\).
3. Theo định lý kẹp, giới hạn bằng \(\boxed{0}\).

Cho \(f(x,y)=x^2y+\sin(xy)\). Tính \(f_x,f_y\).

1. Giữ \(y\) không đổi: \(\partial_x(x^2y)=2xy\), \(\partial_x\sin(xy)=y\cos(xy)\).
2. Giữ \(x\) không đổi: \(\partial_y(x^2y)=x^2\), \(\partial_y\sin(xy)=x\cos(xy)\).
3. Vậy \(\boxed{f_x=2xy+y\cos(xy),\quad f_y=x^2+x\cos(xy)}\).

Tính các đạo hàm riêng của \(f(x,y)=3^{2x-y}+x^2\).

1. Theo \(x\): \(\partial_x(3^{2x-y})=3^{2x-y}\ln3\cdot2\) vì \(\partial_x(2x-y)=2\).
2. Theo \(y\): \(\partial_y(3^{2x-y})=3^{2x-y}\ln3\cdot(-1)\); \(x^2\) là hằng số.
3. \(\boxed{f_x=2\ln3\cdot3^{2x-y}+2x,\quad f_y=-\ln3\cdot3^{2x-y}}\).

Dùng vi phân để tính gần đúng \(f(2.01,0.98)\), biết \(f(x,y)=x\sqrt y\).

1. Chọn điểm gần, dễ tính \((x_0,y_0)=(2,1)\). Khi đó \(f(2,1)=2\), \(\Delta x=0.01\), \(\Delta y=-0.02\).
2. \(f_x=\sqrt y,\ f_y=\frac{x}{2\sqrt y}\). Tại \((2,1)\), cả hai bằng \(1\).
3. \(df\approx1\cdot0.01+1\cdot(-0.02)=-0.01\). Vì vậy \(\boxed{f(2.01,0.98)\approx1.99}\).

Cho \(f(x,y)=x^2y+\sin y\). Tính \(d^2f\).

1. Tính \(f_x=2xy\), \(f_y=x^2+\cos y\).
2. Tính tiếp \(f_{xx}=2y,\ f_{xy}=2x,\ f_{yy}=-\sin y\).
3. Thay công thức: \(\boxed{d^2f=2y\,dx^2+4x\,dx\,dy-\sin y\,dy^2}\).

Cho hàm ẩn \(y=y(x)\) thỏa \(xy+e^{x+y}=x^2+1\). Tìm \(y'\).

1. Đặt \(F(x,y)=xy+e^{x+y}-x^2-1\).
2. Tính \(F_x=y+e^{x+y}-2x\), \(F_y=x+e^{x+y}\).
3. Nếu \(x+e^{x+y}\ne0\), \(\boxed{y'=\frac{2x-y-e^{x+y}}{x+e^{x+y}}}\).

Hàm ẩn \(z=z(x,y)\) thỏa \(x^2+y^2+z^2=9\). Tính \(z_x,z_y\) khi \(z\ne0\).

1. Đặt \(F=x^2+y^2+z^2-9\). Khi đó \(F_x=2x,F_y=2y,F_z=2z\).
2. Áp dụng công thức đạo hàm hàm ẩn, \(z_x=-2x/(2z)\), \(z_y=-2y/(2z)\).
3. Vậy \(\boxed{z_x=-x/z,\quad z_y=-y/z}\), với \(z\ne0\).

Cho \(x=t^2+1,\ y=t^3\), với \(t\ne0\). Tính \(dy/dx\) và \(d^2y/dx^2\).

1. \(x'_t=2t,\ y'_t=3t^2\), nên \(\frac{dy}{dx}=\frac{3t^2}{2t}=\frac{3t}{2}\).
2. Lấy đạo hàm theo \(t\): \(\frac{d}{dt}(dy/dx)=3/2\).
3. Chia tiếp cho \(x'_t=2t\): \(\boxed{\frac{dy}{dx}=\frac{3t}{2},\quad\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{3}{4t}}\), \(t\ne0\).

Cho \(z=x^2y\), \(x=t^2,\ y=e^t\). Tính \(dz/dt\).

1. Tính các đạo hàm: \(z_x=2xy,\ z_y=x^2,\ x'_t=2t,\ y'_t=e^t\).
2. Thế vào \(z'_t=z_xx'_t+z_yy'_t=2(t^2)e^t(2t)+(t^2)^2e^t\).
3. Vậy \(\boxed{z'_t=(4t^3+t^4)e^t}\). Có thể kiểm tra bằng cách viết \(z=t^4e^t\).

Tìm điểm dừng của \(f(x,y)=x^2+2y^2-4x+4y+5\).

1. \(f_x=2x-4\), \(f_y=4y+4\).
2. Giải \(2x-4=0\Rightarrow x=2\), \(4y+4=0\Rightarrow y=-1\).
3. Hàm có đúng một điểm dừng \(\boxed{(2,-1)}\). Muốn kết luận cực trị phải xét Hessian hoặc biến đổi hàm.

Xét cực trị của \(f(x,y)=x^2+2xy+2y^2\).

1. \(f_x=2x+2y,\ f_y=2x+4y\), nên điểm dừng duy nhất là \((0,0)\).
2. \(f_{xx}=2,\ f_{xy}=2,\ f_{yy}=4\); \(\Delta=2\cdot4-2^2=4>0\).
3. Vì \(f_{xx}=2>0\), hàm đạt \(\boxed{\text{cực tiểu tại }(0,0)}\), với giá trị \(\boxed{0}\).

Xét cực trị của \(f(x,y)=x^4+y^2\) tại \((0,0)\).

1. \(f_x=4x^3\), \(f_y=2y\), nên \((0,0)\) là điểm dừng.
2. \(f_{xx}=12x^2,\ f_{xy}=0,\ f_{yy}=2\). Tại \((0,0)\), \(\Delta=0\) nên Hessian không kết luận.
3. Nhưng \(f(x,y)=x^4+y^2\ge0=f(0,0)\), dấu bằng chỉ khi \(x=y=0\). Do đó \(\boxed{\text{cực tiểu chặt tại }(0,0)}\).

Tìm cực đại của \(f(x,y)=xy\) khi \(x+y=6\), \(x>0,y>0\).

1. Từ ràng buộc, \(y=6-x\). Do \(x,y>0\), ta có \(0
2. Hàm một biến: \(g(x)=x(6-x)=9-(x-3)^2\le9\).
3. Vậy cực đại có điều kiện là \(\boxed{9}\) tại \(\boxed{(3,3)}\). Không có giá trị nhỏ nhất trên đoạn mở \(0

Tìm GTLN và GTNN của \(f(x,y)=x+2y\) trên đường tròn \(x^2+y^2=5\).

1. Lấy \(g=x^2+y^2-5\), lập \(L=x+2y-\lambda(x^2+y^2-5)\).
2. Hệ \(1=2\lambda x,\ 2=2\lambda y,\ x^2+y^2=5\) suy ra \(y=2x\) và \(x=\pm1\).
3. Hai điểm \((1,2)\), \((-1,-2)\) cho \(f=5\), \(f=-5\). Vậy \(\boxed{M=5,\ m=-5}\).

Tìm GTLN và GTNN của \(f(x,y)=x^2+y\) trên \([-1,2]\times[0,1]\).

1. Với \(-1\le x\le2\): \(0\le x^2\le4\). Với \(0\le y\le1\): \(0\le y\le1\).
2. Suy ra \(0\le f(x,y)\le5\).
3. Dấu dưới đạt tại \((0,0)\), dấu trên tại \((2,1)\); do đó \(\boxed{m=0,\ M=5}\).

Tìm GTLN và GTNN của \(f=x-2y\) trên tam giác \(x\ge0,\ y\ge0,\ x+y\le2\).

1. Hàm tuyến tính, nên GTLN–GTNN trên tam giác đạt tại một đỉnh. Các đỉnh: \(O(0,0),A(2,0),B(0,2)\).
2. Tính \(f(O)=0,\ f(A)=2,\ f(B)=-4\).
3. Do đó \(\boxed{M=2\text{ tại }(2,0),\quad m=-4\text{ tại }(0,2)}\).

Tìm GTLN và GTNN của \(f(x,y)=x^2+y^2-2x\) trên đĩa \(x^2+y^2\le4\).

1. Viết \(f=(x-1)^2+y^2-1\ge-1\), đạt tại \((1,0)\), là điểm trong đĩa.
2. Để tìm GTLN: đặt \(r^2=x^2+y^2\le4\). Khi đó \(f=r^2-2x\le4+4=8\) vì \(x\ge-2\).
3. Giá trị \(8\) đạt tại \((-2,0)\). Vậy \(\boxed{m=-1,\ M=8}\).