Chương 5. Phương trình vi phân

Phân loại \(y''-3y'+2y=e^x\).

1. Đạo hàm cao nhất là \(y''\), nên phương trình có cấp 2.
2. Các hệ số của \(y'',y',y\) không phụ thuộc \(y\); đây là phương trình tuyến tính hệ số hằng.
3. Vế phải \(e^x\ne0\), nên phương trình không thuần nhất.

Giải \(y'=2x\) với \(y(0)=1\).

1. Tích phân \(dy/dx=2x\) cho \(y=x^2+C\).
2. Điều kiện \(y(0)=1\) cho \(C=1\).
3. Nghiệm của bài toán Cauchy là \(\boxed{y=x^2+1}\).

Giải \(y'=xy\).

1. Nếu \(y\ne0\), tách \(\frac{dy}{y}=x\,dx\).
2. Lấy tích phân: \(\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C\).
3. Suy ra \(\boxed{y=Ce^{x^2/2}}\). Nghiệm \(y\equiv0\) đã nằm trong họ này khi \(C=0\).

Giải \(y'=y^2\) với điều kiện \(y(0)=1\).

1. Nghiệm hằng \(y\equiv0\) cũng thỏa phương trình nhưng không thỏa điều kiện đầu.
2. Với \(y\ne0\), \(\frac{dy}{y^2}=dx\), nên \(-\frac1y=x+C\).
3. \(y(0)=1\Rightarrow C=-1\), vì vậy \(\boxed{y=\frac1{1-x}}\) trên khoảng nghiệm chứa \(0\): \(x<1\).

Giải \(x\,y'=y\ln y,\ y(1)=e\), xét \(x>0,\ y>0\).

1. Trên nhánh có \(\ln y\ne0\), tách \(\frac{dy}{y\ln y}=\frac{dx}{x}\).
2. Tích phân cho \(\ln|\ln y|=\ln x+C\), hay \(\ln y=Kx\) trên nhánh chứa điều kiện đầu.
3. Vì \(\ln y(1)=1\), \(K=1\). Do đó \(\boxed{y=e^x}\), xác định với \(x>0\).

Giải \(xy'=x+y\) trên khoảng \(x>0\).

1. Chia cho \(x\): \(y'=1+y/x\). Đặt \(u=y/x\).
2. Khi đó \(u+xu'=1+u\Rightarrow u'=1/x\); suy ra \(u=\ln x+C\).
3. Vậy \(\boxed{y=x(\ln x+C)}\), với \(x>0\).

Giải \(y'=(y/x)^2+y/x\), với \(x>0\).

1. Đặt \(u=y/x\), khi đó \(u+xu'=u^2+u\), tức \(xu'=u^2\).
2. Nếu \(u\ne0\): \(\frac{du}{u^2}=\frac{dx}{x}\), nên \(-1/u=\ln x+C\).
3. Các nghiệm là \(\boxed{y=-\frac{x}{\ln x+C}}\) trên các khoảng xác định, và nghiệm riêng \(\boxed{y\equiv0}\) từ \(u=0\).

Giải \(y'+2y=e^x\).

1. Nhận \(p=2,\ q=e^x\); chọn \(\mu=e^{2x}\).
2. Nhân hai vế: \((e^{2x}y)'=e^{3x}\), nên \(e^{2x}y=\frac13e^{3x}+C\).
3. \(\boxed{y=\frac13 e^x+Ce^{-2x}}\).

Giải \(xy'+y=3,\ y(1)=1\), xét \(x>0\).

1. Nhận thấy \((xy)'=3\).
2. Tích phân: \(xy=3x+C\), tức \(y=3+C/x\).
3. Thay \(y(1)=1\) được \(C=-2\), nên \(\boxed{y=3-\frac2x}\), \(x>0\).

Giải \(y'+y=y^2\).

1. Với \(y\ne0\), đặt \(u=1/y\), suy ra \(u'=-y'/y^2\).
2. Chia phương trình cho \(y^2\): \(-u'+u=1\), tức \(u'-u=-1\). Vậy \(u=1+Ce^x\).
3. Suy ra \(\boxed{y=\frac{1}{1+Ce^x}}\) trên các khoảng mẫu khác 0; thêm nghiệm \(\boxed{y\equiv0}\).

Giải \((2xy+1)\,dx+(x^2+2y)\,dy=0\).

1. \(M_y=2x=N_x\), nên đây là phương trình toàn phần trên \(\mathbb R^2\).
2. Tích phân \(F_x=2xy+1\) theo \(x\): \(F=x^2y+x+g(y)\). Từ \(F_y=x^2+g'(y)=x^2+2y\), được \(g=y^2\).
3. Vậy nghiệm ẩn là \(\boxed{x^2y+x+y^2=C}\).

Giải \(y''=6x,\ y(0)=1,\ y'(0)=2\).

1. Tích phân một lần: \(y'=3x^2+C_1\).
2. Điều kiện \(y'(0)=2\) cho \(C_1=2\); tích phân tiếp \(y=x^3+2x+C_2\).
3. \(y(0)=1\) cho \(C_2=1\). Vậy \(\boxed{y=x^3+2x+1}\).

Giải \(y''+2y'=0\).

1. Đặt \(v=y'\), suy ra \(v'+2v=0\).
2. \(v=Ae^{-2x}\). Tích phân \(y' =Ae^{-2x}\) được \(y=-\frac A2e^{-2x}+B\).
3. Đổi hằng số: \(\boxed{y=C_1+C_2e^{-2x}}\).

Giải \(y\,y''=(y')^2\), xét các nghiệm \(y>0\).

1. Đặt \(p=y'\), \(y''=p\,dp/dy\) cho \(y\,p\,dp/dy=p^2\).
2. Với \(p\ne0\), \(\frac{dp}{p}=\frac{dy}{y}\), nên \(p=ky\), hay \(y'=ky\).
3. Tích phân: \(\boxed{y=Ae^{kx}}\) với \(A>0\), \(k\in\mathbb R\). Trường hợp \(p=0\) là nghiệm hằng, đã gồm khi \(k=0\).

Biết \(y_1=x\) là nghiệm của \(y''-\frac2x y'+\frac2{x^2}y=0\) trên \(x>0\). Tìm nghiệm tổng quát.

1. Đặt \(y=xv\). Khi đó \(y'=v+xv'\), \(y''=2v'+xv''\).
2. Thay vào: \(2v'+xv''-\frac2x(v+xv')+\frac2{x^2}(xv)=xv''=0\), nên \(v''=0\).
3. \(v=C_1x+C_2\), do đó \(\boxed{y=C_1x^2+C_2x}\), với \(x>0\).

Giải \(y''-3y'+2y=0\).

1. Phương trình đặc trưng: \(r^2-3r+2=0\).
2. Phân tích \((r-1)(r-2)=0\), được \(r_1=1,\ r_2=2\).
3. Nghiệm tổng quát \(\boxed{y=C_1e^x+C_2e^{2x}}\).

Giải \(y''-4y'+4y=0\).

1. Phương trình đặc trưng \(r^2-4r+4=(r-2)^2=0\).
2. Nghiệm \(r=2\) có bội 2; hai nghiệm độc lập \(e^{2x},xe^{2x}\).
3. Vậy \(\boxed{y=(C_1+C_2x)e^{2x}}\).

Giải \(y''+2y'+5y=0\).

1. Lập \(r^2+2r+5=0\).
2. \(\Delta_r=4-20=-16\), nên \(r=-1\pm2i\).
3. Vậy \(\boxed{y=e^{-x}(C_1\cos2x+C_2\sin2x)}\).

Giải \(y''-y=x\).

1. Phương trình thuần nhất \(y''-y=0\) cho \(y_h=C_1e^x+C_2e^{-x}\).
2. Thử \(y_p=Ax+B\), có \(y_p''-y_p=-Ax-B=x\), nên \(A=-1,B=0\).
3. Do đó \(\boxed{y=C_1e^x+C_2e^{-x}-x}\).

Giải \(y''-3y'+2y=e^x\).

1. Phương trình đặc trưng của phần thuần nhất có nghiệm \(1,2\): \(y_h=C_1e^x+C_2e^{2x}\).
2. Vì \(e^x\) trùng nghiệm \(r=1\), thử \(y_p=Axe^x\). Thay vào vế trái được \(-Ae^x\).
3. \(A=-1\), vì vậy \(\boxed{y=C_1e^x+C_2e^{2x}-xe^x}\).

Giải \(y''+y=\sin2x\).

1. Phần thuần nhất: \(y_h=C_1\cos x+C_2\sin x\).
2. Thử \(y_p=A\sin2x\); khi đó \(y_p''+y_p=(-4A+A)\sin2x=-3A\sin2x\).
3. \(A=-1/3\). Vậy \(\boxed{y=C_1\cos x+C_2\sin x-\frac13\sin2x}\).

Giải \(y''+y=\cos x\).

1. Phần thuần nhất là \(y_h=C_1\cos x+C_2\sin x\), trùng tần số vế phải.
2. Thử \(y_p=Ax\sin x\). Tính \(y_p''+y_p=2A\cos x\).
3. Lấy \(2A=1\Rightarrow A=1/2\), nên \(\boxed{y=C_1\cos x+C_2\sin x+\frac x2\sin x}\).

Giải \(y''+y=0,\ y(0)=2,\ y'(0)=-1\).

1. Nghiệm tổng quát \(y=C_1\cos x+C_2\sin x\).
2. \(y'= -C_1\sin x+C_2\cos x\); từ \(y(0)=2,y'(0)=-1\) được \(C_1=2,C_2=-1\).
3. Vậy \(\boxed{y=2\cos x-\sin x}\).

Giải \(y''+y=\sec x\) trên \(-\pi/2Lời giải theo ba bước

1. Phần thuần nhất có \(y_1=\cos x,\ y_2=\sin x\) và Wronski \(W=1\).
2. \(u_1'=-\sin x\sec x=-\tan x\Rightarrow u_1=\ln(\cos x)\); \(u_2'=\cos x\sec x=1\Rightarrow u_2=x\).
3. \(\boxed{y=C_1\cos x+C_2\sin x+\cos x\ln(\cos x)+x\sin x}\) trên khoảng đã cho.