Chương 4. Tích phân đường

Tính \(\int_C1\,ds\), với \(C:x=3t,\ y=4t\) từ \(A(0,0)\) đến \(B(3,4)\), \(t\ge0\).

1. Từ hai đầu mút: \(t_A=0,\ t_B=1\).
2. \(x'=3,y'=4\), nên \(ds=\sqrt{3^2+4^2}\,dt=5\,dt\).
3. \(\int_C1\,ds=\int_0^15\,dt=\boxed{5}\), đúng bằng độ dài đoạn AB.

Tính \(\int_C\frac1{\sqrt{1+4y^2}}\,ds\), \(C:x=y^2\) từ \(A(0,0)\) đến \(B(1,1)\).

1. Cận \(y:0\to1\), đường có \(x'=2y\).
2. \(ds=\sqrt{1+4y^2}\,dy\), hai căn triệt tiêu.
3. \(I=\int_0^1 1\,dy=\boxed{1}\).

Tính \(\int_C\frac{x}{\sqrt{1+4x^2}}\,ds\), với \(x=t,\ y=t^2,\ t\ge0\), từ \(A(1,1)\) đến \(B(2,4)\).

1. Điểm A ứng với \(t=1\), điểm B ứng với \(t=2\).
2. \(ds=\sqrt{1+4t^2}\,dt\), \(x=t\); tích phân thành \(\int_1^2t\,dt\).
3. \(I=[t^2/2]_1^2=\boxed{3/2}\).

Tính \(\int_C(x+y)\,ds\) trên cung tròn \(x^2+y^2=4\) trong góc phần tư thứ nhất, từ \(A(2,0)\) đến \(B(0,2)\).

1. Chọn \(x=2\cos t,\ y=2\sin t,\ t:0\to\pi/2\).
2. \(ds=2\,dt\), nên \(I=4\int_0^{\pi/2}(\cos t+\sin t)\,dt\).
3. \(\boxed{I=8}\).

Tính \(\int_C(x+y)\,ds\), với \(C\) là đường gấp khúc \(A(0,0)\to B(1,0)\to D(1,1)\).

1. Trên AB có \(y=0,ds=dx\), đóng góp \(\int_0^1 x\,dx=1/2\).
2. Trên BD có \(x=1,ds=dy\), đóng góp \(\int_0^1(1+y)\,dy=3/2\).
3. Tổng \(\boxed{1/2+3/2=2}\).

Tính \(\int_C y\,dx+x\,dy\), trên đoạn thẳng từ \(A(0,0)\) đến \(B(2,1)\).

1. Đặt \(x=2t,y=t,\ 0\le t\le1\); khi đó \(dx=2dt,dy=dt\).
2. \(y\,dx+x\,dy=t(2dt)+2t(dt)=4t\,dt\).
3. \(I=\int_0^14t\,dt=\boxed{2}\).

Tính \(\int_C y\,dx+x\,dy\) trên \(y=x^2\) từ \((0,0)\) đến \((1,1)\).

1. Đặt \(y=x^2,\ dy=2x\,dx,\ x:0\to1\).
2. \(y\,dx+x\,dy=x^2dx+2x^2dx=3x^2dx\).
3. \(I=\int_0^1 3x^2dx=\boxed{1}\).

Tính \(I=\int_C y\,dx+x\,dy\), \(C:x=t^2,y=t^3,t\ge0\), từ \(A(1,1)\) đến \(B(4,8)\).

1. Tọa độ cho \(t_A=1,t_B=2\).
2. \(dx=2t\,dt,dy=3t^2dt\), nên \(y\,dx+x\,dy=(2t^4+3t^4)dt=5t^4dt\).
3. \(I=\int_1^2 5t^4dt=[t^5]_1^2=\boxed{31}\).

Tính \(I=\int_C(-y\,dx+x\,dy)\) trên cung tròn đơn vị từ \(A(1,0)\) đến \(B(0,1)\) thuộc góc phần tư I.

1. Tham số \(x=\cos t,y=\sin t,\ 0\le t\le\pi/2\).
2. \(-y\,dx+x\,dy=(\sin^2t+\cos^2t)dt=dt\).
3. \(I=\int_0^{\pi/2}dt=\boxed{\pi/2}\).

Tính \(\int_C y\,dx\) trên đoạn từ \(A(0,0)\) đến \(B(1,2)\), sau đó đảo chiều.

1. Đặt \(x=t,y=2t,\ 0\le t\le1\).
2. Tích phân xuôi \(\int_0^1 (2t)dt=\boxed{1}\).
3. Đảo chiều cho \(I_{B\to A}=\boxed{-1}\). Nếu tính loại 1 \(\int_Cy\,ds\), hai chiều cho cùng giá trị.

Tính \(\int_C 2xy\,dx+x^2\,dy\) từ \(A(1,1)\) đến \(B(2,3)\), với C là một đường trơn bất kỳ trong \(\mathbb R^2\).

1. Nhận thấy \(d(x^2y)=2xy\,dx+x^2\,dy\).
2. Thế vô hướng là \(F(x,y)=x^2y\).
3. \(I=F(2,3)-F(1,1)=12-1=\boxed{11}\).

Tính \(I=\oint_C(-y\,dx+x\,dy)\), \(C:x^2+y^2=1\) đi ngược chiều kim đồng hồ.

1. Chọn \(x=\cos t,y=\sin t,\ t:0\to2\pi\).
2. \(-y\,dx+x\,dy=(\sin^2t+\cos^2t)dt=dt\).
3. \(\boxed{I=2\pi}\). Nếu cùng C đi cùng chiều kim đồng hồ thì bằng \(-2\pi\).

Tính \(\oint_C -y\,dx\), C là biên dương của \(D=[0,2]\times[0,1]\).

1. Đi dương theo các đỉnh \((0,0)\to(2,0)\to(2,1)\to(0,1)\to(0,0)\).
2. Hai cạnh đứng có \(dx=0\), cạnh đáy có \(y=0\); cạnh trên có \(y=1,x:2\to0\).
3. \(I=\int_2^0(-1)\,dx=\boxed{2}\).

Tính \(I=\oint_C(x\,dx+y\,dy)\), với C là đường kín trơn bất kỳ.

1. Nhận thấy \(x\,dx+y\,dy=d[(x^2+y^2)/2]\).
2. Sau một vòng, điểm cuối trùng điểm đầu, nên thế không đổi.
3. \(\boxed{I=0}\).

Cho \(D=\{1\le x^2+y^2\le4\}\). Tính \(\oint_{\partial D}(-y\,dx+x\,dy)\) theo chiều dương của biên.

1. Biên ngoài bán kính 2 đi ngược chiều kim đồng hồ, góp \(2\pi\cdot2^2=8\pi\).
2. Biên trong bán kính 1 đi theo chiều kim đồng hồ, góp \(-2\pi\cdot1^2=-2\pi\).
3. Tổng \(\boxed{6\pi}\).

Tính \(\oint_C(-y\,dx+x\,dy)\), C là đường tròn đơn vị định hướng dương.

1. Đặt \(P=-y,\ Q=x\), nên \(Q_x=1,\ P_y=-1\).
2. Theo Green, \(I=\iint_D(1-(-1))\,dx\,dy=2S(D)\).
3. Diện tích đĩa đơn vị là \(\pi\); vậy \(\boxed{I=2\pi}\).

Tính \(\oint_C y^2\,dx+x^2\,dy\), C là biên dương \(D=[0,2]\times[0,1]\).

1. \(P=y^2,Q=x^2\Rightarrow Q_x-P_y=2x-2y\).
2. \(I=\int_0^2\int_0^1(2x-2y)\,dy\,dx=\int_0^2(2x-1)\,dx\).
3. \(I=[x^2-x]_0^2=\boxed{2}\).

D là tam giác \(x\ge0,y\ge0,x+y\le2\), biên C định hướng dương. Tính \(\oint_C(-y\,dx+x\,dy)\).

1. Với \(P=-y,Q=x\), ta có \(Q_x-P_y=2\).
2. Diện tích tam giác vuông hai cạnh góc vuông bằng 2 là \(S=2\).
3. Theo Green: \(I=2S=\boxed{4}\).

Dùng Green tính diện tích miền giới hạn bởi \(C:x^2+y^2=1\), đi ngược chiều kim đồng hồ.

1. Đặt \(x=\cos t,y=\sin t\) với \(0\le t\le2\pi\).
2. \(x\,dy-y\,dx=(\cos^2t+\sin^2t)\,dt=dt\).
3. \(S=\frac12\int_0^{2\pi}dt=\boxed{\pi}\).

Với \(P=-\frac{y}{x^2+y^2}\), \(Q=\frac{x}{x^2+y^2}\), tính \(I=\oint_C P\,dx+Q\,dy\), C là đường tròn đơn vị chiều dương.

1. Trường không xác định tại \(O\), nên không áp dụng trực tiếp Green trên cả đĩa.
2. Tham số \(x=\cos t,y=\sin t,\ 0\le t\le2\pi\) cho \(P=-\sin t,Q=\cos t\).
3. \(Pdx+Qdy=(\sin^2t+\cos^2t)dt=dt\), nên \(\boxed{I=2\pi}\), không phải 0.