Giải tích: học theo dạng toán

Giải tích nghiên cứu sự biến thiên và tích lũy. Trong chương trình Toán cơ sở, hai câu hỏi thường xuyên xuất hiện là đạo hàm cho biết điều gì? và tích phân đang cộng dồn đại lượng nào, trên miền nào? Hiểu ý nghĩa trước khi chọn công thức giúp hạn chế nhầm lẫn khi gặp bài toán có tham số hoặc đổi hệ tọa độ.

1. Tích phân một biến

Nhận biết tích phân xác định và tích phân suy rộng trước khi tính. Chẳng hạn, tích phân \(\int_1^{+\infty}x^{-p}\,dx\) hội tụ khi \(p>1\). Với tích phân có cận kỳ dị ở 0, điều kiện có thể ngược lại, vì thế không nên học thuộc một quy tắc khi chưa xác định cận suy rộng.

Đọc Chương 1 – Tích phân một biến →

2. Đạo hàm và cực trị của hàm hai biến

Với \(f(x,y)=x^2+y^2\), hai đạo hàm riêng là \(f_x=2x\) và \(f_y=2y\). Điểm dừng duy nhất là \((0,0)\). Do \(f(x,y)\geq0=f(0,0)\), đây là điểm cực tiểu toàn cục. Cách xét trực tiếp bằng dấu của biểu thức đôi khi đơn giản hơn phép thử đạo hàm cấp hai.

Đọc Chương 2 – Vi phân và cực trị →

3. Tích phân kép và hình học miền

Để tính tích phân kép, cần mô tả miền trước khi chọn cận. Miền \(x^2+y^2\leq2ax\), với \(a>0\), là hình tròn tâm \((a,0)\), bán kính \(a\). Viết \(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta\) giúp chuyển biên thành \(0\leq r\leq2a\cos\theta\) trong góc thích hợp.

Đọc Chương 3 – Tích phân kép →

4. Tích phân đường

Tích phân đường loại một sử dụng yếu tố độ dài cung \(ds\), còn tích phân đường loại hai thường có dạng \(P\,dx+Q\,dy\) và phụ thuộc vào hướng đi trên đường cong. Với đường cong tham số, hãy xác định điểm đầu, điểm cuối và chiều tham số trước khi thế vào tích phân.

Đọc Chương 4 – Tích phân đường →

5. Phương trình vi phân

Bước đầu tiên là nhận ra dạng phương trình. Ví dụ, \(y'=xy\) tách biến được. Nghiệm của phương trình này có dạng \(y=Ce^{x^2/2}\). Thay lại vào phương trình ban đầu là cách kiểm tra nhanh phép tính.

Đọc Chương 5 – Phương trình vi phân →

Để học hệ thống, xem lộ trình Toán cơ sở 5 chương. Để ôn từng kỹ thuật, xem các bài viết hướng dẫn.